D 列联表检验的\(\chi^2\)与\(V\)

记事件\(A\)为

\[A=\{X=x,Y=y\}\]

记随机变量\(Z\)为

\[W=\left\{ \begin{aligned} 1, & & A \\ 0, & & \overline{A} \end{aligned} \right.\]

可知，\(W\sim B(1,p)\)，其中\(p=P\{X=x,Y=y\}\)。在二变量独立时，有\(p=P\{X=x\}P\{Y=y\}\)。

列联表的格值

\[n_{ij}=\sum_{i=1}^nW_i\] 由中心极限定律可知：当\(n\)比较大时，近似有\(n_{ij}\sim N(\mu_n,\sigma_n^2)\)，其中，

\[\mu_n=n\mu_Z=np=E_{ij}\] \[σ_n^2=nσ_Z^2=npq=E_{ij}q\]

因此，当\(n\)比较大时：

\[\frac{n_{ij}-E_{ij}}{\sqrt{E_{ij}q}}\sim N(0,1)\] 当\(p\)不是很大时，上式可约为：

\[Z_{ij}=\frac{n_{ij}-E_{ij}}{\sqrt{E_{ij}}}\sim N(0,1)\]

进而，由于\(Z_{ij}\)间相互不独立，自由度\(\nu=(r-1)(c-1)\)，因此

\[\chi^2=\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^c\frac{(n_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}\sim \chi^2 (\nu),\nu=(r-1)(c-1)\]

统计量\(V\)可以描述两个变量的相关系数的强度：

\[V=\sqrt{\frac{\chi^2}{n(k-1)}},k=min(r,c)\]

让\(\chi^2\)除以\(n\)是为了消除样本量增大的影响，而除以\((k-1)\)是为了将\(V\)的取值控制在[0,1]之间。下证：

当变量完全不相关时：显然有\(n_{ij}=E_{ij}\)，从而有\(\chi^2=0\)，\(V=0\)。

当变量完全相关时：记取值较少的变量为\(X\)，取值较多的变量为\(Y\)，取定\(X\)后，定然有唯一确定的\(Y\)的取值，可以将这种关系表为函数关系\(Y=F(X)\)。此时，列联表其实可以表为一个\(k\times k\)表，\(X\)和\(Y\)仅有\(k\)个取值，且一一对应。当\(n_{ij}=0\)时，

\[\frac{(n_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}=E_{ij}=\frac{n_{i*}n_{i*}}{n}\]

\[\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^k\frac{(n_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}} =\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^k\frac{n_{i*}n_{*j}}{n}(n_{ij}=0)\]

当\(n_{ij}≠0\)时，\(n_{ij}=n_{i*}=n_{*j}\)

\[\frac{(n_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}=\frac{n_{ij}^2}{E_{ij}} -2\times n_{ij}+E_{ij}=n-2\times n_{i*}+\frac{n_{i*}n_{i*}}{n}\] \[\sum_{i=1}^k\frac{(n_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}=\sum_{i=1}^k(n-2×n_{i*}+\frac{n_{i*}n_{i*}}{n})=kn-2n+\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^k\frac{n_{i*}n_{*j}}{n} (n_{ij}≠0)\]

将两式相加，可得：

\[\chi^2=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^k\frac{n_{i*}n_{*j}}{n}-(k-2)n=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^kE_{ij}-(k-2)n=n-(k-2)n=(k-1)n\]

\[V=\sqrt{\frac{\chi^2}{n(k-1)}}=1\]