第9章 定类变量-定距变量

9.1.1.1 配对样本检验

假定总体\(X\)为前测，总体\(Y\)为后测，且\(X\)与\(Y\)中的个体一一对应。定义总体\(D\)为个体的后测与前侧的差。

建立原假设与备择假设

\[H_0: \mu_D=0 \leftrightarrow H_1: \mu_D≠0\]

对于任意大样本，由中心极限定律，可以构造检验统计量

\[T=\frac{\overline D}{S_D⁄\sqrt n}\sim t(n-1)\] 代入样本可计算出\(T_0\)。

对于小样本，当且仅当总体服从正态分布时有如上检验统计量。

9.1.1.2 独立样本检验

假定总体\(X\)与总体\(Y\)独立，今欲检测二者的均值是否有差异。

建立原假设与备择假设

\[H_0: \mu_X=\mu_Y \leftrightarrow H_1: \mu_X≠\mu_Y\]

对任意大样本，根据中心极限定律，有：

当二总体满足方差齐性时，检验统计量

\[T=\frac{\overline X-\overline Y }{\sqrt{(\frac{1}{n_X}+\frac{1}{n_Y})\times \frac{(n_X-1) S_X^2+(n_Y-1) S_Y^2)}{n_X+n_Y-2}}}\sim t(n_X+n_Y-2)\]

当二总体不满足方差齐性时，检验量较为复杂，这里略去。

对小样本，当且仅当总体服从正态分布时有如上检验统计量。

9.1.3.1 配对样本检验

用Stata进行配对样本检验，需要进行的工作有：1.数据清理；2.前提条件检验；3.检验与结果分析。

数据清洗。我们知道，前测与后测为定量变量。分清这一点后，我们就可以对做数据清洗操作。详细操作见第一编。

前提条件检验。根据前文流程，我们可能需要做的前提条件检验有：1.大样本与否；2.若为小样本，则正态性检验。

总体是大样本与否，可以用tab命令。操作如下（以var1，var2为定量变量）：

tab var1
tab var2

在tab中，关注格值。

正态性检验，可以用swilk命令（当分组容量在4到2000之间时，这一检验较为灵敏）或sum命令（当然也可以用hist命令绘图，直观感受）。我们已经知道，配对样本检验实则为单样本检验，故需先生成变量d。操作如下：

gen d = var1 – var2
swilk d
sum d, detail

在swilk中，关注结果中的Prob>z一栏，当该栏的值＞0.05时，可以认为满足正态性。在sum中，关注Skewness（偏度）和Kurtosis（峰度）。正态分布的偏度为0，峰度为3。如果偏度与峰度偏离正态分布的偏度与峰度不是很明显时，可以认为满足正态性。

配对样本检验的命令为ttest。ttest默认以配对样本的方式做检验。操作如下（二选一即可）：

ttest var1 == var2
ttest d == 0

9.1.3.2 独立样本均值差检验

用Stata进行独立样本均值差检验，需要进行的工作有：1.数据清理；2.前提条件检验；3.方差分析与结果分析。

数据清洗。我们知道，二总体均为定量变量。分清这一点后，我们就可以对其做数据清洗操作。详细操作见第一编。

前提条件检验。根据前文流程，我们可能需要做的前提条件检验有：1.大样本与否；2.若为小样本，则正态性检验；3.方差齐性检验。

总体是大样本与否，可以用tab命令。操作如下（以var1，var2为定量变量）：

tab var1
tab var2

在tab中，关注格值。

正态性检验。可以用swilk命令（当分组容量在4到2000之间时，这一检验较为灵敏）或sum命令（当然也可以用hist命令绘图，直观感受）。操作如下：

swilk var1
swilk var2 
sum var1, detail
sum var2, detail

在swilk中，关注结果中的Prob>z一栏，当该栏的值＞0.05时，可以认为满足正态性。在sum中，关注Skewness（偏度）和Kurtosis（峰度）。正态分布的偏度为0，峰度为3。如果偏度与峰度偏离正态分布的偏度与峰度不是很明显时，可以认为满足正态性。

方差齐性检验。可用sdtest命令或robvar命令。sdtest命令操作如下：

sdtest var1 == var2

在sdtest中，关注最后三行的p值，若有小于0.05的，那么可以认为方差不等。 robvar命令可能有两种情况。若数据本身已经是长数据了，记分类变量为var3，定量变量为var0，则操作如下：

robvar var0, by(var3)

若数据本身是宽数据，需要先将宽数据转为长数据。记两个定量变量分别为var1和var2，则转化操作如下：

reshape long var, i(id)
//id需要填入用以识别的变量，reshape long后接变量名。例如要将income1 income2 income3转为长数据，那么即填入reshape long income, i(id)
//会自动生成一列名为_j的变量，取值即为共用名的后缀。例如，income1对应的_j取值即为1，income2对应的_j取值即为2，income3对应的_j取值即为3。
//变量原本的取值，将会被保存在新变量income中。而原变量income1，income2，income3会删除。其他变量不受影响。

转化后，robvar的操作如下：

robvar var, by(_j)

在robvar中，关注返回的三个Pr >F。当三者都＜0.05，则认为方差不齐。反之，可以认为方差齐性。

独立样本均值差检验。使用ttest命令。对宽数据：当方差齐性时，加unpaired选项；当方差不齐时，同时加unpaired选项和unequal选项。对长数据：当方差齐性时，加by选项；当方差不齐时，同时加by选项和unequal选项。操作如下：

ttest var1 == var2, unpaired // 若方差齐性
ttest var1 == var2, unequal // 若方差不齐

9.1.4.1 配对样本

关注最后一行。若三个\(p\)值全都＞0.05（或给定的显著性水平\(\alpha\)），则原假设成立。反之，若有＜0.05（或给定的显著性水平\(\alpha\)），则选择\(p\)值最小的作为结论。

9.1.4.2 独立样本

若为方差齐性：

关注最后一行。若三个\(p\)值全都＞0.05（或给定的显著性水平\(\alpha\)），则原假设成立。反之，若有＜0.05（或给定的显著性水平\(\alpha\)），则选择\(p\)值最小的作为结论。

关注最后一行。若三个\(p\)值全都＞0.05（或给定的显著性水平\(\alpha\)），则原假设成立。反之，若有＜0.05（或给定的显著性水平\(\alpha\)），则选择\(p\)值最小的作为结论。

9.2.1.1 一元方差分析

首先讨论一元方差分析。假定分类变量\(Y\)有\(m\)个取值，由\(Y\)分组的连续变量\(X\)的各组均值分别为\(\mu_1,\mu_2,…,\mu_n\)。共有\(n\)个个体。

一元方差分析的假设：

\[H_0: \mu_1=\mu_2=...=\mu_n \leftrightarrow H_1:Not\ H_0\]

一元方差分析的样本统计量有：组间偏差平方和\(SSB\)（也作\(BSS\)）、组内偏差平方和\(SSW\)（也作\(RSS\)，\(SSE\)）、总偏差平方和\(SST\)（即样本的修正方差，也作\(TSS\)）及三者的自由度与均方¹，检验统计量\(F\)，相关比例\(\eta^2\)（即方差分析的效应量，也作\(eta^2\)，\(R^2\)）。下面给出各统计量的计算方法：

\[SSB=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^{n_i}(\overline y_i-\overline y)^2 =\sum_{i=1}^mn_i(\overline y_i-\overline y)^2, SSW=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^{n_i}(y_{ij}-\overline y_i)^2\] \[SST=SSB+SSW=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^{n_i}(y_{ij}-\overline y)^2\]

\[MSB=\frac{SSB}{m-1},MSW=\frac{SSW}{n-m},MST=\frac{SST}{n-1}\]

\[F=\frac{MSB}{MSW}\sim F(m-1;n-m),\eta^2=\frac{SSB}{SST}\]

如果\(Pr\{F>F_0\}<\alpha\)，那么可以认为组间均值差在统计上显著。\(\eta^2\)则报告了分组变量的解释力。

9.2.1.2 二元方差分析

其次讨论二元方差分析。二元方差分析相当于三次一元方差分析。解释变量依次为：分类变量\(A\)，分类变量\(B\)，\(A\)和\(B\)的交互效应\(I\)。三次一元方差分析操作同一般的一元方差分析，除了交互作用的自由度\(\nu_I=\nu_A\nu_B=(m_A-1)(m_B-1)\)。在使用anova命令时，Stata会以正确的自由度来计算。

9.2.4.1 oneway结果解释

各格对应的统计量如下：

其中，最后一行报告了各分组的方差齐性检验结果。不过一般我们以robvar的结果为准。

9.2.4.2 anova结果解释

表的上方报告了个体数（num of obs），残差的标准差（root of mse），R-square（模型的解释力），修正的R-square（Adj R-square）。

Partial SS列表示各部分的偏差平方和：Model行的表示模型总共解释的，下面若干行依次表示变量/变量的交互解释的，Residual行表示未被模型解释的（也就是\(SSR\)/\(SSE\)/\(RSS\)）。

df列表示各行的\(SS\)对应的自由度。

MS列表示均方，即各行的\(SS/df\)所得。

F列表示模型与变量各行对应的检验统计量\(F\)的大小。

Prob>F列表示各行\(F\)的检验结果，若\(p\)值小于给定的显著性水平，可以认为对应行的变量（或交互作用）对因变量起作用。