第7章 定类变量-定类变量

7.1.1 基本概念

假设有随机类别变量\(X\)，随机类别变量\(Y\)。总体中取值为\(X=x_i\)且\(Y=y_j\)的概率以\(p_{ij}\)表示，取值为\(X=x_i\)的概率以\(p_{i*}\)表示，取值为\(Y=y_j\)的概率以\(p_{*j}\)表示。

列联表格值\(n_ij\)表示取值为\(X=x_i\)且\(Y=y_j\)的观测值个数。边缘和\(n_{i*}\)表示取值为\(X=x_i\)的观测值个数，\(n_{*j}\)表示取值为\(Y=y_j\)的观测值个数。各格的期望值\(E_ij=n_{i*}n_{*j}\)。

列联表的原假设为二变量独立。用数学语言表示，则为

\[H_0:p_{ij}=p_{i*}p_{*j}\]

总体参数未可知，一般以观测值\(n_{ij}\)，\(n_{i*}\)，\(n_{*j}\)做点估计。列联表检验的检验统计量如下：

\[\chi^2=\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^c\frac{(n_{ij}-E_{ij})^2}{E_ij} \sim\chi^2 (\nu),\nu=(r-1)(c-1)\]

当\(Pr\{\chi^2>\chi_0^2\}\)时，可以拒绝原假设。从而，可以认为两个变量不独立。统计量V可以描述两个变量的相关强度：

\[V=\sqrt{\frac{\chi^2}{n(k-1)}},k=min(r,c)\]

让\(\chi^2\)除以\(n\)是为了消除样本量增大的影响，而除以\((k-1)\)是为了将\(V\)的取值控制在\([0,1]\)之间。

7.1.2 流程

列联表检验的流程为：

1. 选择变量；
2. 建立原假设与备择假设；
3. 代入数据，计算检验统计量\(\chi^2\)，并比较统计量\(Pr\{\chi^2>\chi_0^2\}\)与给定的显著性水平\(\alpha\)，如果\(Pr\{\chi^2>\chi_0^2\}<\alpha\)，那么可以认为检验结果在统计上显著；
4. 若检验结果显著，计算列联强度\(V\)；
5. 若检验结果显著，进行解释。

7.1.3 Stata操作

用Stata做列联表检验，需要进行的工作有：1.数据清理；2.列联表检验并计算列联强度。

数据清洗。我们知道，两个变量为定序变量。以类别变量的标准清洗之即可。详细操作见第一部分。

列联表检验并计算列联强度，需要tab命令后接chi和V选项。操作如下：

tab var1 var2, chi V

若要显示\(E_{ij}\)，只需添加expect选项（可缩写为exp）。

7.1.4 结果解读

tab输出结果对应的统计量如下：